1) Preparate la pasta. Mescolate in una ciotola la farina e il lievito di birra e fate un pozzetto al centro. In una brocca miscelate 2 dl di acqua tiepieda, il latte, l'uovo, 1 cucchiaino di sale e 3 cucchiai di olio. Versate il tutto al centro della farina, amalgamate gli ingredienti con un cucchiaio e poi lavorate l'impasto brevemente con le mani. Lasciatelo riposare coperto per 30 minuti, poi lavoratelo per 5 minuti. Formate una palla, ungetela con olio, mettetela in un recipiente, coprite con pellicola e lasciate lievitare a temperatura ambiente per 2 ore (oppure in frigorifero per 12 ore).
2) Lavate i pomodori, tagliateli a metà, conditeli con sale, pepe e un filo di olio, disponeteli su una teglia e cuoceteli in forno a 160° per 30 minuti. Poi abbrustolite i peperoni sotto il grill del forno, avvolgeteli in un foglio di alluminio e lasciateli raffreddare. Quindi spellateli, privateli di semi e filamenti e riduceteli in falde. Salateli e lasciateli a sgocciolare in un colino per qualche minuto.
3) Stendete la pasta in 2 rettangoli mediamente sottili e copriteli con il prosciutto, le falde di peperone, le foglie del basilico, i pomodori conditi e un po' di origano. Richiudete la pasta sul ripieno sigillando tutti i lati e adagiate gli Stromboli su una teglia rivestita con carta da forno (o oliata) con la parte sigillata verso il basso. Lasciateli riposare coperti per 30 minuti, incideteli trasversalmente in vari punti e spennellateli con olio emulsionato con altrettanta acqua e una presa di sale. Cuoceteli in forno a 220° fino a doratura (30 minuti circa).
